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做市不是"躺着赚钱"。LP 的收益(手续费)与成本(无常损失、价格风险)之间有一条精密的数学平衡。本节用量化方法回答:什么情况下做市划算,什么情况下不如持有?

19.5.1 无常损失的完整推导

flowchart TD
    A[LP 注入 x0, y0] --> B[价格变动 ρ = P1/P0]
    B --> C{做市 vs 持有}
    C -->|做市| D[做市价值<br/>x_mm = L√ρ, y_mm = L/√ρ]
    C -->|HODL| E[持有价值<br/>x0, y0 不变]
    D --> F[IL 机会成本<br/>IL = 2√ρ/(1+ρ) - 1 < 0]
    E --> F
    F --> G{累计手续费 > |IL| ?}
    G -->|是| H[净赚:做市优于持有]
    G -->|否| I[净亏:不如直接持有]
    style F fill:#ffcdd2
    style H fill:#c8e6c9
    style I fill:#ffccbc

考虑价格从 $P_0$ 变为 $P_1$ ,比率 $\rho = P_1/P_0$ 。恒定乘积池中,LP 的资产数量(做市策略)为:

x_{\text{mm}} = L\sqrt{\rho}, \qquad y_{\text{mm}} = \frac{L}{\sqrt{\rho}}

而"什么都不做"的 HODL 策略始终持有最初比例的 $x_0, y_0$ 。

无常损失(以 Y 计价,做市价值 / HODL 价值 - 1):

\text{IL} = \frac{2\sqrt{\rho}}{1+\rho} - 1

推导思路:

设初值 $L = \sqrt{x_0 y_0}$ (几何平均),初始价格 $P_0 = y_0/x_0$ 。
价格变化后,做市组合价值(以 Y 计价):

V_{\text{mm}} = x_{\text{mm}} \cdot P_1 + y_{\text{mm}} = L\sqrt{\rho} \cdot P_0\rho + \frac{L}{\sqrt{\rho}}

HODL 价值:

V_{\text{hodl}} = x_0 P_1 + y_0 = x_0 P_0\rho + y_0

代入 $x_0 = L/\sqrt{P_0}, y_0 = L\sqrt{P_0}$ 并化简即得上式。IL 恒 $\le 0$ ,只有 $\rho=1$ 时为 0。

19.5.2 IL 的数值特性

价格比率 $\rho$	价格变化	IL
1.0	0%	0.00%
1.25	+25%	0.60% 损失
1.5	+50%	2.02% 损失
2.0	+100%	5.72% 损失
3.0	+200%	13.40% 损失
4.0	+300%	20.00% 损失
0.5	-50%	5.72% 损失(对称)

对称性:IL 只取决于 $\rho = P_1/P_0$ ,与涨跌方向无关——涨一倍和跌一半的 IL 相同(都是 ~5.7%)。

19.5.3 手续费收益的补偿模型

LP 的总收益 = 手续费累计 - IL。Uniswap V2 每笔 0.3% 手续费留存池中,k 增长即 LP 资产增值。

年化手续费收益估算:

\text{APR}_{\text{fee}} = \frac{\text{volume\_fee\_pct} \times \text{Volume}}{\text{TVL}} \times \frac{\text{Fee\%}}{0.3\%}

若一个池子 TVL = \ $10M,日交易量 \$ 2M:日手续费 = 2M x 0.3% = \$6000,年化 ≈ 6000 x 365 / 10M ≈ 21.9% APR。
若同时池内价格波动导致 IL > 21.9%,LP 整体仍亏损。

决策法则:当 手续费APR > IL + 波动风险溢价 时,做市优于 HODL。高波动币对(如 meme 币)看似手续费高,但 IL 吞噬更快。

19.5.4 IL 量化引擎(纯 TS)

typescript

// 无常损失量化：从零实现（纯 TS + BigInt，无外部库）
// IL = 2*sqrt(rho)/(1+rho) - 1，rho = P1/P0
// 用定点 BigInt 计算 sqrt（牛顿法），无浮点误差
function sqrtBabylon(x: bigint): bigint {
  if (x <= 0n) return 0n;
  let z = x >> 1n;              // 初始猜测
  for (let i = 0n; i < 64n; i++) {
    const next = (z + x / z) >> 1n;
    if (next === z || next === z - 1n || next === z + 1n) break;
    z = next;
  }
  return z;
}

function impermanentLoss(rhoBps: bigint): number {
  // rho 以 1e4 定点传入（如 20000 = 2.0）
  const SCALE = 10n ** 18n;
  const rho = (rhoBps * SCALE) / 10000n; // 转 1e18 定点
  const sqrtRho = sqrtBabylon(rho * SCALE); // sqrt(rho) * 1e18
  const numerator = (2n * sqrtRho) % SCALE; // 先取小数部分（简化演示）
  const num = 2n * sqrtRho;
  const den = SCALE + rho;
  // IL = 2*sqrt(rho)/(1+rho) - 1，用定点精确计算
  const ilScaled = (num * SCALE) / den - SCALE;
  return Number(ilScaled) / Number(SCALE);
}

// 验证：rho = 2（价格翻倍）=> IL ≈ -0.0572
const il2x = impermanentLoss(20000n);
console.log("价格翻倍 IL =", (il2x * 100).toFixed(2) + "%", "（理论 -5.72%）");

// 验证：rho = 1 => IL = 0
const il1x = impermanentLoss(10000n);
console.log("价格不变 IL =", (il1x * 100).toFixed(2) + "%", "（理论 0%）");

运行结果:价格翻倍 IL = -5.72%,价格不变 IL = 0%——与理论公式完全吻合。

19.5.5 做市策略实操建议

场景	建议
高波动币对(新币/meme)	慎入;IL 极高,除非手续费 APR 惊人且你愿意承担
稳定币对(USDC/USDT/DAI)	IL ≈ 0,最适合作底仓生息
波幅中等(ETH/稳定币)	可做;用无常损失计算器预先评估
无常损失对冲	可用期权/永续合约对冲价格风险(复杂,进阶)
分散策略	多个池子分散,勿 All-in 单一高波动池

19.5.6 关键认知

① IL = $2\sqrt{\rho}/(1+\rho)-1$ ,只取决于价格比率、与涨跌方向对称;② 做市是否划算 = 手续费 APR 与 IL + 波动风险的赛跑;③ 稳定币对是"低波动低IL"的稳健生息选择,高波动币对是"高 APR 高 IL"的赌博。

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